Οι παράλογοι αριθμοί είναι πραγματικοί αριθμοί που δεν μπορούν να γραφτούν ως πηλίκο δύο ακεραίων. Τα πιο γνωστά από αυτά είναι τα π, √2 και η χρυσή τομή. Το τελευταίο είναι Φ ≈ 1,618 και εκφράζει πώς δύο μέρη, το a και το b, είναι ανάλογα μεταξύ τους, αν το άθροισμα των δύο, a+b, είναι ανάλογο με το μεγαλύτερο όπως και το μεγαλύτερο με το μικρότερο. Οι παράλογοι αριθμοί δεν είναι απλώς αποκύημα της φαντασίας των μαθηματικών: εμφανίζονται επίσης σε πολλά μέρη στη φύση. Προφανώς, στο ανθρώπινο μάτι, αναλογίες που αντιστοιχούν στη χρυσή τομή, όπως κτίρια, έργα τέχνης και φυσικά φαινόμενα, φαίνονται εγγενώς όμορφες.
Το μεγαλύτερο πρόβλημα με τους παράλογους αριθμούς είναι ότι, παρόλο που δεν μπορούν να εκφραστούν ακριβώς σε δεκαδική μορφή (καθώς περιέχουν άπειρα, μη επαναλαμβανόμενα κλάσματα), οι μηχανικοί και οι επιστήμονες πρέπει να τους υπολογίζουν τακτικά. Το πρόβλημα στοιχειώνει τους μαθηματικούς εδώ και χιλιάδες χρόνια. Σύμφωνα με το μύθο, ο Έλληνας μαθηματικός, Ιππάσος ανακάλυψε τους παράλογους αριθμούς τον 5ο αιώνα π.Χ., στη συνέχεια το είπε απρόσεκτα στους Πυθαγόρειους μαθηματικούς που ταξίδευαν μαζί του σε μια βάρκα (σύμφωνα με άλλες εκδοχές, ήταν ο τελευταίος που έκανε την ανακάλυψη και ο Ιππάσος πούλησε αυτή τη γνώση έναντι χρημάτων). Ανεξάρτητα από αυτό, οι παράλογοι αριθμοί δεν ταίριαζαν στην Πυθαγόρεια κοσμοθεωρία που βασίζεται στην τελειότητα. Τελείωσε άσχημα:
Λόγω των παράλογων αριθμών, ο Ιππάσος πετάχτηκε στη θάλασσα και πνίγηκε.
Σήμερα, οι μαθηματικοί σκοτώνουν λιγότερο συχνά λόγω παράλογων αριθμών, αλλά δεν ξέρουν τα πάντα για αυτούς. Ένα σημαντικό ερώτημα, για παράδειγμα, είναι εάν τα κλάσματα που προσεγγίζουν την τιμή των παράλογων αριθμών μπορούν να δώσουν απείρως ακριβή αποτελέσματα ή εάν υπάρχει όριο στην προσέγγιση. Για παράδειγμα, το 157/50 πλησιάζει αρκετά το π (3,14…), αλλά το 22/7 είναι ακόμα καλύτερο.
Μπορούμε όμως ποτέ να βρούμε την καλύτερη δυνατή προσέγγιση;
Το 1941, ο φυσικός Richard Duffin και ο μαθηματικός Albert Schaeffer πρότειναν μια διαδικασία για τον προσδιορισμό των ορίων σφάλματος εντός των οποίων ένας άπειρος αριθμός παράλογων αριθμών μπορεί να προσεγγιστεί με κλάσματα που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Στην εικασία τους – δεδομένου ότι μέχρι τώρα δεν υπήρχε απόδειξη γι 'αυτό, επομένως δεν μπορούσε να ονομαστεί θεώρημα – υποστήριξαν ότι όσο μεγαλύτερος είναι ο παρονομαστής του κλάσματος (ο αριθμός κάτω από τη γραμμή του κλάσματος ) τόσο πιο άρρητοι μπορούν να είναι οι αριθμοί κατά προσέγγιση με το ίδιο περιθώριο σφάλματος.
Αυτό είναι σχετικά εύκολο να το δει κανείς, καθώς τα κλάσματα με μεγάλο παρονομαστή είναι πιο κοντά μεταξύ τους στην αριθμητική γραμμή από εκείνα με μικρό παρονομαστή. Η απόσταση μεταξύ 1/2 και 2/2 είναι 1/2, αλλά μεταξύ 1/100 και 2/100 είναι μόνο 1/100. Έτσι, αν αυξήσουμε αρκετά τον παρονομαστή, τα όρια σφάλματος θα συγκλίνουν μετά από ένα ορισμένο χρονικό διάστημα, και από εκείνη τη στιγμή, όλοι οι παράλογοι αριθμοί μεταξύ των εξεταζόμενων κλασμάτων μπορούν να προσεγγιστούν με τη βοήθειά τους.
Η εικασία Duffin-Schaeffer (ή τώρα το θεώρημα) είναι φυσικά πολύ πιο περίπλοκη στην πραγματικότητα, εδώ υπάρχει ακριβής περιγραφή για όσους γνωρίζουν.
Μόλις μάντεψα αποδεικνύω Δημήτρης Κουκουλόπουλος και James Maynard των Πανεπιστημίων του Μόντρεαλ και της Οξφόρδης. Για την απόδειξη χρησιμοποιήθηκαν διαδικασίες θεωρίας γραφημάτων. Ο Maynard είπε για αυτά:
Ίσως αυτό που χρειαζόμασταν (για τη λύση) ήταν να μπορέσουμε να ξεχάσουμε όλα τα άσχετα σημεία του προβλήματος και να επικεντρωθούμε μόνο σε έναν ή δύο παράγοντες που κάνουν (την εικασία) πραγματικά ξεχωριστή. Η χρήση της μεθόδου της θεωρίας γραφημάτων όχι μόνο αποδεικνύει το αποτέλεσμα, αλλά αποκαλύπτει επίσης πολλά για την υποκείμενη δομή του προβλήματος.
(Ο εθνικός κήρυκας, Scientific American)
Ακολουθήστε επίσης το Index στο Facebook!
“Τυπικός τηλεοπτικός νίντζα. Λάτρης της ποπ κουλτούρας. Ειδικός στο Διαδίκτυο. Λάτρης του αλκοόλ. Καταθλιπτικός αναλυτής. Γενικός λάτρης του μπέικον.”
